Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c图象上的点P（1，f（1））处的切线方程为y=-3x+1
（1）若函数f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的表达式；
（2）函数f（x）在区间[-2，0]上单调递减，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=-3x²+2ax+b，f′（1）=-3+2a+b=-3，f（1）=-1+a+b+c=-2，f′（-2）=-12-4a+b=0，由此能求出f（x）=-x³-2x²+4x-3．
（2）由（1）知

2a+b=0 a+b+c=-1

，从而a=-

b

2

，c=-1-

b

2

，进而f′（x）=-3x²-bx+b，由此结合已知条件能求出实数b的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=-x³+ax²+bx+c，
∴f′（x）=-3x²+2ax+b，
∵图象上的点P（1，f（1））处的切线方程为y=-3x+1，
∴函数f（x）在x=1处的切线斜率为-3，
∴f′（1）=-3+2a+b=-3，即2a+b=0，①
又f（1）=-1+a+b+c=-2，得a+b+c=-1，②
又函数f（x）在x=-2时有极值，
∴f′（-2）=-12-4a+b=0．③
联立①②③，得：a=-2，b=4，c=-3，
∴f（x）=-x³-2x²+4x-3．
（2）由（1）知

2a+b=0 a+b+c=-1

，∴a=-

b

2

，c=-1-

b

2

，
∴f′（x）=-3x²-bx+b，
∵函数f（x）在区间[-2，0]上单调递减，
∴f′（x）=-3x²-bx+b≤0的解集为[-2，0]，
∴-

b

6

≤0，解得b≥0．
∴实数b的取值范围是[0，+∞）．

点评：本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．