Question

设x∈[

π

4

，

π

3

]，f（x）=

1

4

（sin²x-cos²x-

3

2

）+

3

2

sin²（x-

π

4

），求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：利用二倍角的余弦公式降幂，然后利用两角差的正弦化积，最后根据x的范围求f（x）的最大值和最小值．

解答： 解：f（x）=

1

4

（sin²x-cos²x-

3

2

）+

3

2

sin²（x-

π

4

）
=

1

4

(-cos2x-

3

2

)+

3

2

•

1-cos(2x- π 2 )

2

=-

1

4

cos2x-

3

8

+

3

4

-

3

4

cos(2x-

π

2

)
=-

3

4

sin2x-

1

4

cos2x+

3

8

=-

1

2

(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)+

3

8

=-

1

2

sin(2x+

π

6

)+

3

8

．
∵x∈[

π

4

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[

2π

3

，

5π

6

]，
sin(2x+

π

6

)∈[

1

2

，

3

2

]，
∴-

1

2

sin(2x+

π

6

)+

3

8

∈[-

3

8

，-

1

4

+

3

8

]．
∴f（x）的最大值和最小值分别为：-

1

4

+

3

8

，-

3

8

．

点评：本题考查了三角函数的最值，考查了倍角公式及两角和的正弦公式，训练了函数值域的求法，是中档题．