Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆焦距为2，离心率为

1

2

（1）求椭圆的标准方程
（2）若直线l过点（1，2）且倾斜角为45°且与椭圆相交于A，B两点，求弦长|AB|．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据焦点在x轴上的椭圆焦距为2，离心率为

1

2

，可得c=1，

c

a

=

1

2

，求出几何量，可得椭圆的标准方程；
（2）直线l的方程为y=x+1，代入椭圆方程，消去y可得7x²+8x-8=0，利用弦长公式可得结论．

解答： 解：（1）∵焦点在x轴上的椭圆焦距为2，离心率为

1

2

，
∴c=1，

c

a

=

1

2

，
∴a=2，
∴b²=a²-c²=3，
∴所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
∵直线l过点（1，2）且倾斜角为45°，
∴直线l的方程为y=x+1，
代入椭圆方程，消去y可得7x²+8x-8=0，
∴x₁+x₂=-

8

7

，x₁x₂=-

8

7

∴|x₁-x₂|=

( 8 7 )2+4• 8 7

=

12 2

7

因此，|AB|=

2

•|x₁-x₂|=

24

7

．

点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．