Question

在极坐标系中，曲线C：ρsin²θ=2cosθ，过点A（5，α）（α为锐角且tanα=

3

4

）作平行于θ=

π

4

（ρ∈R）的直线l，且l与曲线C分别交于A，B两点．
（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线C和直线l的普通方程；
（Ⅱ）求|AB|的长．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由已知求出sinα，cosα的值，则由极坐标和直角坐标的互化公式求得A点的坐标，结合直线l平行于θ=

π

4

求直线l的斜率，由点斜式得直线l的方程．把曲线C：ρsin²θ=2cosθ两边同时乘以ρ，则曲线C的普通方程可求；
（Ⅱ）直接联立直线方程和曲线C的方程，利用弦长公式求得|AB|的长．

解答： 解：（Ⅰ）∵α为锐角且tanα=

3

4

，
∴sinα=

3

5

，cosα=

4

5

，
由x=5cosα=5×

4

5

=4，y=5sinα=5×

3

5

=3．
∴点A的直角坐标为（4，3），
又直线l的斜率k=tan

π

4

=1，
∴直线l的普通方程为y=x-1，
曲线C：ρsin²θ=2cosθ，得ρ²sin²θ=2ρcosθ，即y²=2x．
∴曲线C的普通方程为y²=2x；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y2=2x y=x-1

，得x²-4x+1=0，
由韦达定理得：x₁+x₂=4，x₁x₂=1，
由弦长公式得|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|
=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

42-4

=2

6

．

点评：本题是直线与圆锥曲线的综合题，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了利用弦长公式求线段的长度，属中档题．