Question

若F₁、F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，|F1F2|=2

3

，AB是过F₁的一条弦，△ABF₂周长为8．
?①求出这个椭圆的方程；
?②是否存在过定点P（0，2）的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使|

OM

+

ON

|=|

OM

-

ON

|（O为坐标原点）？若存在求出直线l斜率k，若不存在请说明．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：①由椭圆的定义可得△ABF₂周长为4a，再利用2c=2

3

及其a²=b²+c²即可得出；
②假设存在过定点P（0，2）的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使|

OM

+

ON

|=|

OM

-

ON

|．可知：

OM

⊥

ON

，得到

OM

•

ON

=0．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线l的方程为：y=kx+2．与椭圆的方程联立化为关于x的一元二次方程，再利用根与系数的关系即可得出．

解答： 解：①由椭圆的焦距|F1F2|=2

3

，AB是过F₁的一条弦，△ABF₂周长为8．
∴

2c=2 3 a2=b2+c2 4a=8

，解得a=2，b=1，c=

3

．
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．
②假设存在过定点P（0，2）的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使|

OM

+

ON

|=|

OM

-

ON

|．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线l的方程为：y=kx+2．
联立

y=kx+2 x2+4y2=4

，化为（1+4k²）x²+16kx+12=0，
则△=256k²-48（1+4k²）＞0，化为k2＞

3

4

，解得k＞

3

2

或k＜-

3

2

（*）．
∴x1+x2=-

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

．
∵|

OM

+

ON

|=|

OM

-

ON

|，∴

OM

⊥

ON

，
∴

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=

12(1+k2)

1+4k2

-

32k2

1+4k2

+4=0，k²=4．
解得k=±2．满足△＞0．
故存在直线l满足条件，其斜率k=±2．

点评：本题考查了椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立化为关于x的一元二次方程及其根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．