Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为

1

2

（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l经过点M（0，1），且与椭圆C交于A，B两点，若

AM

=2

MB

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆的焦距为2，离心率为

1

2

，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（2）设直线l方程为y=kx+1，代入椭圆方程，由

AM

=2

MB

得x₁=-2x₂，利用韦达定理，化简可得(

8k

3+4k2

)2=

4

3+4k2

，求出k，即可求直线l的方程．

解答： 解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞0，b＞0)，
因为c=1，

c

a

=

1

2

，所以a=2，b=

3

，
所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（2）由题得直线l的斜率存在，设直线l方程为y=kx+1
则由

y=kx+1 x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+8kx-8=0，且△＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由

AM

=2

MB

得x₁=-2x₂…..（8分）
又

x1+x2= -8k 3+4k2 x1•x2= -8 3+4k2

，
所以

-x2= -8k 3+4k2 -2x22= -8 3+4k2

消去x₂得(

8k

3+4k2

)2=

4

3+4k2

解得k2=

1

4

，k=±

1

2

所以直线l的方程为y=±

1

2

x+1，即x-2y+2=0或x+2y-2=0…（12分）

点评：本题以椭圆为载体，考查直线与椭圆的位置关系，关键是直线与椭圆方程的联立，利用韦达定理可解．