题目内容
已知数列{an}（n∈N+）满足：an=logn+1（n+2），定义：使a1•a2•a3…an．为整数的数k（k∈N+）叫做“希望数”，则区间[1，2013]内所有希望数的和等于（ ）
| A、2026 | B、2036 |
| C、2046 | D、2048 |
考点：数列的求和,对数的运算性质
专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列
分析：利用an=logn+1（n+2），化简a1•a2•a3…ak，得k=2m-2，给m依次取值，可得区间[1，2013]内所有希望数，然后求和．
解答：
解：an=logn+1（n+2），
∴由a1•a2•a3…ak为整数得，log23•log34…log（k+1）（k+2）=log2（k+2）为整数，
设log2（k+2）=m，则k+2=2m，∴k=2m-2； 因为211=2048＞2013，
∴区间[1，2013]内所有希望数为22-2，23-2，24-2，210-2，
其和M=22-2+23-2+24-2+…+210-2=2026．
故选：A．
∴由a1•a2•a3…ak为整数得，log23•log34…log（k+1）（k+2）=log2（k+2）为整数，
设log2（k+2）=m，则k+2=2m，∴k=2m-2； 因为211=2048＞2013，
∴区间[1，2013]内所有希望数为22-2，23-2，24-2，210-2，
其和M=22-2+23-2+24-2+…+210-2=2026．
故选：A．
点评：本题考查对数函数的运算性质，数列求和，求出区间[1，2013]内所有希望数为22-2，23-2，24-2，210-2，是解题的关键．
练习册系列答案
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已知f（x）=
，则f（
）的值为（ ）
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| 2 |
| 3 |
A、
| ||
B、-
| ||
| C、1 | ||
| D、-1 |
已知集合A⊆{1，2，3}，且集合A的元素中至少含有一个奇数，则满足条件的集合A有（ ）
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| A、周期为π的奇函数 | ||
B、周期为
| ||
C、周期为
| ||
| D、周期为π的偶函数 |
命题：存在x∈R，“（-2）n＞0”的否定是（ ）
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| B、存在x∈R，“（-2）n＜0” |
| C、对任何x∈R，“（-2）n≤0” |
| D、对任何x∈R，“（-2）n＜0” |