Question

已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若对任意的都有恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

试题分析：（1）当时，，求出导函数，所以曲线在处的切线斜率，又，进而得出切线方程；
（2）易得函数的定义域为，对函数进行求导得，令并在定义域范围内解之，即，再对其分和进行分类讨论，求得函数的单调增区间，函数的单调增区间在定义域内的补集即为函数的单调减区间；
由题意得：对任意，使得恒成立，只需在区间内，，对进行分类讨论，从而求出的取值范围.
(1)时, 
                          
曲线在点处的切线方程       
(2) 
①当时, 恒成立,函数的递增区间为 
②当时,令,解得或（舍去）

x	( 0,)
f’(x)	-		+
f(x)	减		增

 
所以函数的递增区间为,递减区间为     
(3)由题意知对任意的,,则只需对任意的, 
①当时,在上是增函数,所以只需 ，而 ，所以满足题意;
②当时,,在上是增函数, 所以只需 
而， 所以满足题意; 
③当时,,在上是减函数,上是增函数,所以只需即可 ，而 ，从而不满足题意;
综合①②③实数的取值范围为.