Question

2．如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，E为BC的中点，F为线段AD上的一点，且$AF=\frac{3}{2}$．现将四边形ABEF沿直线EF翻折，使翻折后的二面角A'-EF-C的余弦值为$\frac{2}{3}$．

（1）求证：A'C⊥EF；
（2）求直线A'D与平面ECDF所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）连接AC交EF于M点，由平面几何知识可得$AC=\sqrt{5}，EF=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，以及$\frac{AM}{MC}=\frac{FM}{ME}=\frac{3}{2}$，经过计算可得：AM²+MF²=AF²，则AC⊥EF，再利用线面垂直的判定与性质即可证明．
（2）由（1）知，二面角A'-EF-C的平面角就是∠A'MC，即$cos∠A'MC=\frac{2}{3}$，根据余弦定理，可求得A'C=1，利用A'C²+MC²=A'M²，可得A'C⊥MC，可知A'C⊥平面ECDF，即可得出∠A'DC就是直线A'D与平面ECDF所成的角．

解答 （1）证明：连接AC交EF于M点，
由平面几何知识可得$AC=\sqrt{5}，EF=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
以及$\frac{AM}{MC}=\frac{FM}{ME}=\frac{3}{2}$，则有$AM=\frac{{3\sqrt{5}}}{5}，MC=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，MF=\frac{{3\sqrt{5}}}{10}$，
故有AM²+MF²=AF²，则AC⊥EF，
于是，A'M⊥EF，CM⊥EF，
而A'M∩CM=M，故EF⊥平面A'MC，
而A'C?平面A'MC，故A'C⊥EF．
（2）解：由（1）知，二面角A'-EF-C的
平面角就是∠A'MC，
即$cos∠A'MC=\frac{2}{3}$，
根据余弦定理，可求得A'C=1，
因为A'C²+MC²=A'M²，所以A'C⊥MC，
而A'C⊥EF，可知A'C⊥平面ECDF，
因此，∠A'DC就是直线A'D与平面ECDF所成的角．
由于A'C=CD=1，
故直线A'D与平面ECDF所成的角为$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、空间角、勾股定理的逆定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．