Question

14．已知函数$f（x）=\frac{e^x}{x}+a（{x-lnx}）$，在$x∈（{\frac{1}{2}，2}）$上有三个不同的极值点（e为自然对数的底数），则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（{-e，-\sqrt{e}}）$
• B． $（{-2\sqrt{e}，-e}）$
• C． $（{-\sqrt{e}，0}）$
• D． $[-e，-\frac{e}{2}）$

Answer 1

分析 问题转化为e^x+ax=0在x∈（$\frac{1}{2}$，2）有两个不同的根，且x≠=e，令g（x）=a=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：函数的定义域为x∈（0，+∞），
f′（x）=$\frac{{（e}^{x}+ax）（x-1）}{{x}^{2}}$，
由条件可知f′（x）=0在x∈（$\frac{1}{2}$，2）上有三个不同的根，
即e^x+ax=0在x∈（$\frac{1}{2}$，2）有两个不同的根，
令g（x）=a=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，g′（x）=-$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
x∈（$\frac{1}{2}$，1）时单调递增，x∈（1，2）时单调递减，
∴g（x）_max=g（1）=-e，g（$\frac{1}{2}$）=-2$\sqrt{e}$，g（2）=-$\frac{1}{2}$e²，
∵-2$\sqrt{e}$-（-$\frac{1}{2}$e²）＞0，
∴-2$\sqrt{e}$＜a＜-e，
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．