Question

7．已知直线的极坐标方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）上求一点，使它到直线的距离最小，并求出该点坐标和最小距离．

Answer 1

分析 求出直线的直角坐标方程，设所求的点为P（-1+cosθ，sinθ），则P到直线的距离d=$\frac{|-1+cosθ+sinθ-1|}{\sqrt{2}}$=|sin（θ+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{2}$|，即可得出结论．

解答 解：直线的极坐标方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0，直角坐标方程是x+y-1=0．
设所求的点为P（-1+cosθ，sinθ），则P到直线的距离d=$\frac{|-1+cosθ+sinθ-1|}{\sqrt{2}}$=|sin（θ+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{2}$|，
θ+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即θ=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z时，d取得最小值$\sqrt{2}$-1，
此时P（-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．