Question

1．如图，四边形ABCD为菱形，将△CBD沿BD翻折到△EBD的位置．
（1）求证：直线BD⊥平面ACE；
（2）若二面角E-BD-C的大小为60°，∠DBE=60°，求直线CE与平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连结AC、BD，交于点O，连结EO，推导出EO⊥BD，CO⊥BD，由此能证明BD⊥平面ACE．
（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与平面ABE所成角的正弦值．

解答 证明：（1）连结AC、BD，交于点O，连结EO，
∵四边形ABCD为菱形，∴EO⊥BD，CO⊥BD，
∵EO∩CO=O，EO，CO?平面ACE，
∴BD⊥平面ACE．
解：（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AB=2，则C（0，$\sqrt{3}$，0），E（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），A（0，-$\sqrt{3}$，0），B（1，0，0），
$\overrightarrow{CE}$=（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{BA}$=（-1，-$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BE}$=（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
设平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=-x-\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{3}{2}z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，1，-$\sqrt{3}$），
设直线CE与平面ABE所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}•\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴直线CE与平面ABE所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．