Question

已知离心率e=

3

2

的椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）过点P（

3

2

，1），O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若向量

m

=（ax₁，by₁）与

n

=（ax₂，by₂）垂直．试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率e=

3

2

，椭圆经过点P（

3

2

，1），建立方程组，求得几何量，从而可得椭圆的方程．
（Ⅱ）分类讨论：①当直线AB斜率不存在时，即x₁=x₂，y₁=-y₂，利用

m

•

n

=0，A在椭圆上，可求△AOB的面积；②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+t，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合

m

•

n

=0可得△AOB的面积是定值．

解答： 解：（1）∵离心率e=

3

2

的椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）过点P（

3

2

，1），
∴

e= c a = a2-b2 a = 3 2 1 a2 + 3 4b2 =1

，
解得a=2，c=1，
∴椭圆E的方程为

y2

4

+x2=1．
（Ⅱ）（Ⅲ）①当直线AB斜率不存在时，即x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵

m

•

n

=0=0，∴4x12-y12=0，
∵A在椭圆上，∴

4x12

4

+x12=1，∴|x1|=

2

2

，|y₁|=

2

，
∴S=

1

2

|x1||y1-y2|=1．
②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+t，
代入椭圆方程，得（k²+4）x²+2ktx+t²-4=0
△=4k²t²-4（k²+4）（t²-4）＞0，x₁+x₂=

-2kt

k2+4

，x₁x₂=

t2-4

k2+4

，
∵

m

•

n

=0，∴4x₁x₂+y₁y₂=0，∴4x₁x₂+（kx₁+t）（kx₂+t）=0
∴2t²-k²=4
∴S=

1

2

×

|t|

1+k2

|AB|=

|t| 4k2-4t2+16

k2+4

=

4t2

2|t|

=1．
综上，△AOB的面积是定值1．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是联立方程，利用韦达定理进行求解．