Question

若函数f（x）=x²-2ax+2在区间[0，4]上至少有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：通过题意知，需讨论二次函数f（x）对称轴的分布情况：对称轴是x=a，第一种情况是，a≤0，或a≥4，这时候，f（0）•f（4）≤0，解出a即可；第二种情况，0＜a＜4，需满足，f（0），f（4）有一个大于0且f（a）＜0，解出a即可．

解答： 解：f（x）=x²-2ax+2=（x-a）²+2-a²
①若a≤0或a≥4，则在区间[0，4]上有零点的条件是：f（0）•f（4）≤0，解得a≥

9

4

，所以a≥4；
②若0＜a＜4，则在区间[0，4]上有零点的条件是：f（a）＜0，且f（0），f（4）中有一个大于0，
∵f（0）=2＞0，∴只要满足2-a²＜0，就有零点，解得

2

＜a＜4．
综上所述，实数a的取值范围是（

2

，+∞）．

点评：熟练掌握二次函数图象以及对称轴、取零点的情况是求解本题的关键．