Question

5．如图所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱长均为a，D是侧棱CC₁的中点．
（1）求证：平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁；
（2）求平面AB₁D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．

Answer 1

分析 （1）取AB₁的中点E，AB的中点F．连接DE、EF、CF．证明DE的平行线CF垂直平面ABB₁A₁，内的相交直线AB，BB₁，即可证明平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁；
（2）建立空间直角坐标系，求平面AB₁D的一个法向量，以及平面ABC的一个法向量，利用向量的数量积求平面AB₁D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．

解答 证明：（1）取AB₁的中点E，AB的中点F．
连接DE、EF、CF．
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱长均为a，D是侧棱CC₁的中点，
∴EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BB₁，CD$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BB₁．
∴四边形CDEF为平行四边形，∴DE∥CF．
又三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱．
△ABC为正三角形．CF?平面ABC，
∴CF⊥BB₁，CF⊥AB，而AB∩BB₁=B，∴CF⊥平面ABB₁A₁，
又DE∥CF，∴DE⊥平面ABB₁A₁．
又DE?平面AB₁D．所以平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁．
解：（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，$\frac{a}{2}$，0），C（0，a，0），D（0，a，$\frac{a}{2}$）B₁（0，0，a），B（0，0，0），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，-$\frac{a}{2}$，a），$\overrightarrow{AD}$=（-$\frac{\sqrt{3}a}{2}，\frac{a}{2}，\frac{a}{2}$），
设$\overrightarrow{n}$=（1，x，y）为平面AB₁D的一个法向量．
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=-\frac{\sqrt{3}a}{2}-\frac{ax}{2}+ay=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=-\frac{\sqrt{3}a}{2}+\frac{ax}{2}+\frac{ay}{2}=0}\end{array}\right.$，解得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
平面ABC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）．
设平面AB₁D与平面ABC所成二面角（锐角）为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{\frac{8}{3}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{4}$．
∴平面AB₁D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，二面角及其度量，考查空间想象能力，计算能力，是中档题．证明平面与平面垂直主要转化为证明一个平面内的一条直线与另一个平面垂直即可，而证明直线与平面垂直，只需证明此直线与平面图内的两条相交直线垂直；求二面角的大小新教材主要要求学生掌握用空间向量的方法来求：第一步建立适当的空间直角坐标系，并设出点的坐标；第二步分别求出二面角的两个面的一个法向量；第三步代公式$cos\left?{\overrightarrow m，\overrightarrow n}\right＞=\frac{|\overrightarrow m•\overrightarrow n|}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}$即可求得，注意运算的准确性．