Question

已知命题p：关于x的不等式a^x＞1，（a＞0，a≠1）的解集是{x|x＜0}，命题q：函数y=lg（x²-x+a）的定义域为R，若p∨q为真p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：先根据指数函数的单调性、对数函数的定义域及一元二次不等式的解的情况和判别式的关系求出命题p，q下的a的取值范围，再根据p∨q为真，p∧q为假，得到p真q假和p假q真两种情况，求出每种情况下的a的取值范围并求并集即可．

解答： 解：命题p：0＜a＜1；
命题q：函数y=lg（x²-x+a）的定义域为R，则：
x²-x+a＞0的解集为R；
∴△=1-4a＜0，a＞

1

4

；
若p∨q为真p∧q为假，则p，q一真一假；
当p真q假时，0＜a＜1，且a≤

1

4

，∴0＜a≤

1

4

；
当p假q真时，a＞1，且a＞

1

4

，∴a＞1；
∴a的取值范围是(0，

1

4

]∪(1，+∞)．

点评：考查指数函数的单调性，一元二次不等式解的情况和判别式△的关系，以及p∨q，p∧q的真假和p，q真假的关系．