Question

15．已知二次函数f（x），若f（x）＜0时的解集为{x|-1＜x＜4}，且f（6）=28．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数$g（x）=\frac{f（x-m）}{x}（m＞1）$在区间$[8\sqrt{3}，16]$上是单调递增函数，试求函数g（x）在该区间上的最大值的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数与对应不等式和方程的关系，结合f（6）=28，求出f（x）的解析式；
（2）由f（x）的解析式，求出f（x-m），根据g（x）的解析式求出g（x）在[8$\sqrt{3}$，16]上单调递增的条件，
求出m的取值范围，再求出函数g（x）在[8$\sqrt{3}$，16]上的最大值g（16）的解析式，从而求出它的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）是二次函数，且不等式f（x）＜0的解集是（-1，4），
∴-1，4是方程f（x）=0的两个根，且抛物线开口向上，
设f（x）=a（x+1）（x-4），a＞0．
f（6）=a（6+1）（6-4）=28，
解得a=2，
∴f（x）=2（x+1）（x-4）；
（2）由f（x）=2（x+1）（x-4），得f（x-m）=2（x-m+1）（x-m-4），
g（x）=$\frac{f（x-m）}{x}$=$\frac{2（x-m+1）（x-m-4）}{x}$=2[x+$\frac{{m}^{2}+3m-4}{x}$-（2m+3）]；
当m＞1时，m²+3m-4＞0恒成立，
∴当x≥$\sqrt{{m}^{2}+3m-4}$时，g（x）是单调增函数，
x≤-$\sqrt{{m}^{2}+3m-4}$时，g（x）是单调减函数；
又g（x）在[8$\sqrt{3}$，16]上是单调增函数，
∴$\sqrt{{m}^{2}+3m-4}$≥8$\sqrt{3}$；
化简得m²+3m-196≥0，
解得m≥$\frac{-3+\sqrt{793}}{2}$或m≤$\frac{-3-\sqrt{793}}{2}$（不合题意，舍去）；
又函数g（x）在区间$[8\sqrt{3}，16]$上是单调递增函数，
∴函数g（x）在该区间上的最大值为
g（16）=$\frac{2（16-m+1）（16-m-4）}{16}$=$\frac{1}{8}$（17-m）（12-m）=$\frac{1}{8}$（m-17）（m-12）；
由m≥$\frac{-3+\sqrt{793}}{2}$知，
12＜$\frac{-3+\sqrt{793}}{2}$＜13，
且（m-17）（m-12）的对称轴为m=14.5，
所以$\frac{1}{8}$（m-17）（m-12）有最小值-$\frac{25}{32}$，它的取值范围是[-$\frac{25}{32}$，+∞）．
故所求的取值范围是[-$\frac{25}{32}$，+∞）．

点评 本题考查了二次函数与对应不等式的应用问题，也求函数的取值范围的应用问题，是难题．