Question

9．设直线l₁：mx-2my-6=0与l₂：（3-m）x+my+m²-3m=0．
（1）若l₁∥l₂，求l₁，l₂之间的距离；
（2）若直线l₂与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l₂的方程．

Answer 1

分析 （1）若l₁∥l₂，求出m的值，即可求l₁，l₂之间的距离；
（2）表示直线l₂与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积，配方法求出最大，即可求直线l₂的方程．

解答 解：（1）若l₁∥l₂，则$\frac{1}{2}=-\frac{3-m}{m}$，∴m=6，
∴l₁：x-2y-1=0，l₂：x-2y-6=0
∴l₁，l₂之间的距离d=$\frac{5}{\sqrt{1+4}}$=$\sqrt{5}$；
（2）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{3-m＞0}\end{array}\right.$，∴0＜m＜3，
直线l₂与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S=$\frac{1}{2}$m（3-m）=$-\frac{1}{2}（m-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{9}{8}$，
∴m=$\frac{3}{2}$时，S最大为$\frac{9}{8}$，此时直线l₂的方程为2x+2y-3=0．

点评 本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．