Question

设函数f（x）=m-

1

2x+1

（1）求证：不论m为何实数f（x）总为增函数；
（2）确定m的值，使f（x）为奇函数并求此时f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）∵f（x）的定义域为R，任设x₁＜x₂，化简f（x₁）-f（x₂）到因式乘积的形式，判断符号，得出结论．
（2）由f（-x）=-f（x），解出a的值，进而得到函数的解析式：f（x）=1-

2

2x+1

．由 2^x+1＞1，可得函数的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）的定义域为R，设 x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=m-

1

2x1+1

-m+

1

2x2+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，(2x1+1)(2x2+1)＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．
（2）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），
即m-

2

2-x+1

=-（m-

2

2x+1

），
解得：m=1．
∴f（x）=1-

2

2x+1

．
∵2^x+1＞1，
∴0＜

2

2x+1

＜1，
∴-1＜f（x）＜1
所以f（x）的值域为（-1，1）．

点评：本题考查证明函数的单调性的方法、步骤，利用奇函数的定义求待定系数的值，及求函数的值域．