Question

已知奇函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）=2^x-1．则f（log₂10）的值为

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：先判断log₂10的范围，利用函数的周期为2转化到区间（-1，0）内，再根据偶函数的定义和对数的运算性质求出f（log₂10）的值．

解答： 解：∵3＜log₂10＜4，∴-1＜-4+log₂10＜0，∵f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴函数f（x）是以2为周期的奇函数，
∴f（log₂10）=f（-4+log₂10）=-f（4-log₂10），
∵当x∈（0，1）时，f（x）=2^x-1，∴f（4-log₂10）=16×

1

10

-1=

3

5

，
即f（log₂10）=-

3

5

．
故答案为：-

3

5

点评：本题考查了函数奇偶性和周期性的应用，根据周期性把自变量的范围转化到与题意有关的区间上，再由奇偶性联系f（x）=-f（-x），利用对数的运算性质求出函数值．