Question

已知直角坐标平面内点到点与点的距离之和为．

（1）试求点的轨迹的方程；

（2）若斜率为的直线与轨迹交于、两点，点为轨迹上一点，记直线的斜率为，直线的斜率为，试问：是否为定值？请证明你的结论．

Answer 1

解：（Ⅰ） 由题知  ，   则

由椭圆的定义知点轨迹是椭圆其中．因为，

所以，轨迹的方程为

（2）设直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程得：

（1）代入（2）得：化简得：

当时，即，也即，时，直线与椭圆有两交点，

由韦达定理得：，                     

所以，，

则

    所以，为定值。