Question

在△ABC中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，

m

=（a，b），

n

=（sinA，sinB），

p

=（

2

a，c），

q

=（sinB，sinC），

m

•

n

=

p

•

q

．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若c=

2

-1，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由

m

•

n

=

p

•

q

得asinA+bsinB=

2

asinB+csinC，即a²+b²-c²=

2

ab，由余弦定理即可解得角C；
（Ⅱ）由a²+b²-c²=

2

ab，利用基本不等式可得ab≤1-

2

2

，即可求得三角形面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

=（a，b），

n

=（sinA，sinB），

p

=（

2

a，c），

q

=（sinB，sinC），

m

•

n

=

p

•

q

．
∴asinA+bsinB=

2

asinB+csinC，∴a²+b²-c²=

2

ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

2

2

，∴C=

π

4

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a²+b²-c²=

2

ab，

2

ab+c²=a²+b²≥2ab，
∴（

2

-2）ab≥-(

2

-1)2，即ab≤1-

2

2

，
∴s_△ABC≤

1

2

absin

π

4

=

1

2

（1-

2

2

）×

2

2

=

2 -1

4

．

点评：本题主要考查向量数量积的运算，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式等知识的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题．