Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，其右焦点到点P（-3，1）的距离为

17

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的左顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题：e=

c

a

=

1

2

，

(c+3)2+12

=

17

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出直线l过定点（-

2

7

，0）．

解答： （1）解：由题：e=

c

a

=

1

2

，①
右焦点（c，0）到点P（-3，1）的距离为：

(c+3)2+12

=

17

．②，
由①②可解得：a²=4，b²=3，c²=1．…（2分）
∴所求椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，3+4k²-m²＞0．
x₁+x₂=-

8mk

3+4k2

，x1x2=

4(m2-3)

3+4k2

，…（6分）
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk（x₁+x₂）+m²=

3(m2-4k2)

3+4k2

，
∵以AB为直径的圆过椭圆的左顶点D（-2，0），因此

DA

•

DB

=0，
即（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0，展开得x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=0，

4(m2-3)

3+4k2

-

16mk

3+4k2

+4+

3(m2-4k2)

3+4k2

=0，
7m²-16mk+4k²=0，…（9分）
解得 m=2k或m=

2k

7

，且满足3+4k²-m²＞0，…（10分）
当m=2k时，l：y=k（x+2），直线过定点（-2，0），与已知矛盾；…（11分）
当m=

2k

7

时，l：y=k（x+

2

7

），直线过定点（-

2

7

，0）．
综上可知，直线l过定点，定点坐标为（-

2

7

，0）．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．