Question

已知函数f（x）=

x2

a

-1（a＞0）的图象在x=1处的切线为l，求l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，求出切线方程，表示出三角形的面积利用基本不等式求出最值．

解答： 解：∵f′（x）=

2x

a

，∴f′（1）=

2

a

．
又f（1）=

1

a

-1，切线的斜率为：

2

a

，切点坐标（1，

1

a

-1）．
∴f（x）在x=1处的切线l的方程是y-

1

a

+1=

2

a

（x-1）．
∴l与坐标轴围成的三角形的面积为
S=

1

2

|-

1

a

-1||

a+1

2

|=

1

4

(a+

1

a

+2)≥

1

4

×（2+2）=1．当且仅当a=1时等号成立．
l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为：1．

点评：本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，基本不等式的应用，考查计算能力．