Question

15．已知$\overrightarrow a，\overrightarrow b$为单位向量，且$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，向量$\overrightarrow c$满足$|{\overrightarrow c+\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=3$，则$|{\overrightarrow c}|$的取值范围为（　　）

• A． $[1，1+\sqrt{2}]$
• B． $[2-\sqrt{2}，2+\sqrt{2}]$
• C． $[\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$
• D． $[3-\sqrt{2}，3+\sqrt{2}]$

Answer 1

分析 根据题意，设（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）与（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）的夹角为θ，由向量模的计算公式可得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，又由$\overrightarrow{c}$=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），分析可得|$\overrightarrow{c}$|²=[（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）]²=11-6$\sqrt{2}$cosθ，由cosθ的范围可得11-6$\sqrt{2}$≤|$\overrightarrow{c}$|²≤11+6$\sqrt{2}$，化简计算可得答案．

解答 解：根据题意，设（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）与（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）的夹角为θ，
又由$\overrightarrow a，\overrightarrow b$为单位向量，且$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=$\overrightarrow{a}$²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²=2，即|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，
则$\overrightarrow{c}$=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），
则有|$\overrightarrow{c}$|²=[（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）]²=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）²-2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）+（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²=11-6$\sqrt{2}$cosθ，
则有11-6$\sqrt{2}$≤|$\overrightarrow{c}$|²≤11+6$\sqrt{2}$，
即3-$\sqrt{2}$≤|$\overrightarrow{c}$|≤3+$\sqrt{2}$，
即$|{\overrightarrow c}|$的取值范围为[3-$\sqrt{2}$，3+$\sqrt{2}$]；
故选：D．

点评 本题考查向量的数量积运算，关键是利用向量的加减运算进行化简变形．