Question

6．已知$f（α）=\frac{{sin（{2π-α}）cos（{π+α}）cos（{\frac{π}{2}-α}）}}{{sin（{3π-α}）sin（{\frac{9π}{2}+α}）}}+cos（{2π-α}）$．
（1）化简f（α）；（2）若$f（α）=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，求$\frac{1}{sinα}+\frac{1}{cosα}$的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用三角函数的诱导公式化简求值；
（2）$f（α）=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$求得sinα+cosα的值，平方后可得sinαcosα的值，把$\frac{1}{sinα}+\frac{1}{cosα}$通分后得答案．

解答 解：（1）$f（α）=\frac{{sin（{2π-α}）cos（{π+α}）cos（{\frac{π}{2}-α}）}}{{sin（{3π-α}）sin（{\frac{9π}{2}+α}）}}+cos（{2π-α}）$
=$\frac{-sinα（-cosα）sinα}{sinαcosα}+cosα$=sinα+cosα；
（2）由$f（α）=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，得sinα+cosα=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
两边平方得：$1+2sinαcosα=\frac{2}{5}$，∴sin$αcosα=-\frac{3}{10}$．
则$\frac{1}{sinα}+\frac{1}{cosα}$=$\frac{sinα+cosα}{sinαcosα}=\frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{-\frac{3}{10}}=-\frac{2\sqrt{10}}{3}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．