Question

10．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，点F₁，F₂分别是椭圆C的左，右焦点，以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线 x-y+$\sqrt{6}$=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点F₂的直线l与椭圆C相交于点M，N两点，求使△F₁MN面积最大时直线l的方程及△F₁MN面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件列出方程组，求解椭圆的几何量，然后求解椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+1，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则点M，N的坐标是方程组$\left\{{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，的两组解，利用韦达定理表示三角形的面积，通过求解三角形的最值求解直线方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意得$\left\{{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{{\sqrt{6}}}{{\sqrt{1+1}}}}\\{{a^2}={b^2}+{c^2}}\end{array}}\right.∴\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\\{c=1}\end{array}}\right.$，所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；…（5分）
（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为x=my+1，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则点M，N的坐标是方程组$\left\{{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，的两组解，
∴（3m²+4）y²+6my-9=0，∴$\left\{{\begin{array}{l}{△＞0}\\{{y_1}+{y_2}=\frac{-6m}{{3{m^2}+4，}}}\\{{y_1}{y_2}=\frac{-9}{{3{m^2}+4}}}\end{array}}\right.$…（7分）
∴${S_{△{F_1}MN}}=\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}||{{y_1}-{y_2}}|=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\frac{{12\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}$
=$\frac{12}{{3\sqrt{{m^2}+1}+\frac{1}{{\sqrt{{m^2}+1}}}}}≤\frac{12}{4}=3$（由对号函数单调性知道当且仅当m=0时取等号），…（10分）
所以当m=0时，${S_{△{F_1}MN}}$取得最大值3，此时直线l的方程为x=1．…（12分）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．