Question

5．已知函数f（x）=e^x-asinx-1（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）≥0对一切x∈[0，1]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求出导函数，得到f′（0），再求出f（0），利用直线方程的点斜式得答案；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，可得f′（x）≥0对一切x∈[0，1]恒成立，然后对a分类讨论可得a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=e^x-sinx-1，f′（x）=e^x-cosx，
∴f′（0）=0，又f（0）=0，
∴y-0=0（x-0），即y=0．
∴a=1时，f（x）在x=0处的切线方程为y=0；
（Ⅱ）f′（x）=e^x-acosx，若a≤0，则f′（x）≥0对一切x∈[0，1]恒成立，
∴f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）≥f（0）=0，符合题意；
若0＜a≤1，f′（x）=e^x-acosx，由0≤x≤1知，0＜acosx≤a，e^x≥1．
∴f′（x）＞0，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）≥f（0）=0，符合题意；
若a＞1，由y=e^x与y=acosx的图象的位置关系知，
存在x₀∈（0，1），当0＜x＜x₀ 时，e^x＜acosx，
此时f′（x）＜0，f（x）在[0，x₀]上单调递减；
当0＜x＜x₀ 时，f（x）＜f（0）=0．与题意矛盾．
综上，a的取值范围为（-∞，1]．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查恒成立问题的求解方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．