Question

1．设y=f（t）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0≤t≤24．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系表：

t	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y	5	7.5	5	2.5	5	7.5	5	2.5	5

经长期观察，函数y=f（t）的图象可以近似地看成函数y=k+Asin（ωt+φ）的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（　　）

• A． $y=5+\frac{5}{2}sin\frac{π}{12}t，t∈[0，24]$
• B． $y=5+\frac{5}{2}sin（\frac{π}{12}t+\frac{π}{2}），t∈[0，24]$
• C． $y=5+\frac{5}{2}sin\frac{π}{6}t，t∈[0，24]$
• D． $y=5+\frac{5}{2}sin（\frac{π}{6}t+π），t∈[0，24]$

Answer 1

分析 由表格求出函数最值和周期，再求出A、K的值，由三角函数的周期公式求出ω的值，将特殊点代入解析式列出方程求出ϕ，可求出函数的解析式．

解答 解：由表格可得：函数的最大值是7.5、最小值是2.5，
则A=$\frac{1}{2}（7.5-2.5）$=$\frac{5}{2}$，k=$\frac{1}{2}（7.5+2.5）$=5，
且T=15-3=12，又ω＞0，则$\frac{2π}{ω}=12$，解得ω=$\frac{π}{6}$，
则函数f（t）=5+$\frac{5}{2}$sin（$\frac{π}{6}$t+ϕ），
因为函数图象过点（0，5），
所以5+$\frac{5}{2}$sinϕ=5，则sinϕ=0，即ϕ=kπ（k∈Z），
又函数图象过点（3，7.5），
所以5+$\frac{5}{2}$sin（$\frac{π}{2}$+ϕ）=7.5，则sin（$\frac{π}{2}$+ϕ）=1，
即ϕ=0，
所以$y=5+\frac{5}{2}sin\frac{π}{6}t，t∈[0，24]$，
故选C．

点评 本题考查正弦型函数解析式的求法，三角函数的周期公式，解题的关键是要根据表格分析出函数的最值、周期等，进而求出各个参数的值．