Question

已知函数f（x）=x²-4x+a+3．
（1）当a=0时，求函数f（x）在区间[1，4]上的值域；
（2）若函数y=f（x）在区间[-1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；
（3）设函数y=f（x）（x∈[t，4]）的值域为区间D，是否存在常熟t，使区间D的长度为9，？若存在，求出所有满足这个条件的t的值；若不存在，请说明理由．（注：区间[p，q]）

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,函数的值域

专题：分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）a=0时，求出函数f（x）在区间[1，4]上的最大最小值，即得值域；
（2）根据函数y=f（x）在区间[-1，1]上的单调性，结合函数零点存在的条件，求出a的取值范围；
（3）根据函数f（x）的图象与性质，讨论t的取值范围，求出满足条件的t的值．

解答： 解：（1）a=0时，f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴函数f（x）在区间[1，4]上的最小值是f（x）_min=f（2）=-1，
最大值是f（x）_max=f（4）=（4-2）²-1=3，
∴f（x）在区间[1，4]上的值域是[-1，3]；
（2）当函数y=f（x）在区间[-1，1]上存在零点时，
∵函数f（x）=x²-4x+a+3的图象是抛物线，开口向上，在对称轴的左侧是减函数，
∴函数f（x）在区间[-1，1]上是减函数，
∴

f(-1)＞0 f(1)＜0

，
即

1+4+a+3＞0 1-4+a+3＜0

，
解得-8＜a＜0；
∴实数a的取值范围是（-8，0）；
（3））∵函数f（x）=x²-4x+a+3图象的对称轴是 x=2，
当t≤0时，在区间[t，4]上，f（t）最大，f（2）最小，
令f（t）-f（2）=9，
即（t²-4t+a+3）-（a-1）=9，
∴t²-4t-5=0，
解得t=-1，或t=5（不满足条件，舍去）；
当0＜t≤2时，f（x）在[t，4]的最小值是f（2）=a-1，最大值是f（4）=a+3，
∴值域是[a-1，a+3]；区间长度为（a+3）-（a-1）=4，不满足条件；
当2＜t＜4时，f（x）在[t，4]的最小值是f（t）=t²-4t+a+3，最大值是f（4）=a+3，
∴值域是[t²-4t+a+3，a+3]；
区间长度为（a+3）-（t²-4t+a+3）=-t²+4t，
令-t²+4t=9，此方程无解；
综上，t=-1时，满足题目中的条件．

点评：本题考查了含有字母系数的一元二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了求函数的值域的应用问题，是综合性题目．