Question

已知函数f（x）=x+

1

x

，（x＞0），以点（n，f（n））为切点作函数图象的切线l_n（n≥1，n∈Z），直线x=n+1与函数y=f（x）图象及切线l_n分别相交于A_n，B_n，记a_n=|A_nB_n|．
（Ⅰ）求切线l_n的方程及数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）设数列{na_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜1．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,导数的综合应用,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到过点（n，f（n））的切线方程，和曲线联立求得A_n，B_n的坐标，由两点间的距离公式求得a_n=|A_nB_n|；
（Ⅱ）把a_n代入na_n，由裂项相消法求数列{na_n}的前n项和为S_n，放缩证得S_n＜1．

解答： （Ⅰ）解：对f(x)=x+

1

x

，（x＞0）求导，得f′(x)=1-

1

x2

，
则切线l_n方程为：y-(n+

1

n

)=(1-

1

n2

)(x-n)，即y=(1-

1

n2

)x+

2

n

，
把x=n+1分别代入f(x)=x+

1

x

及y=(1-

1

n2

)x+

2

n

，
得An(n+1，n+1+

1

n+1

)，Bn(n+1，n+1+

n-1

n2

)，
由a_n=|A_nB_n|知，an=|

1

n+1

-

n-1

n2

|=

1

n2(n+1)

；
（Ⅱ）证明：∵na_n=n•

1

n2(n+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=1•a₁+2•a₂+…+n•a_n
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1．

点评：本题考查了数列的函数特性，训练了利用裂项相消法求数列的和，考查了利用放缩法证明不等式，是中档题．