Question

14．已知函数f（x）=|x-1|，g（x）=-|x+3|+a（a∈R）．
（1）当a=6时，解关于x的不等式f（x）＜g（x）；
（2）若函数y=2f（x）的图象恒在函数y=g（x）的图象的上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式即|x-1|+|x+3|＜6，分类讨论，分别求得不等式的解集，
（2）由题意可得2f（x）-g（x）＞0，即a＜2|x-1|+|x+3|．设$h（x）=2|x-1|+|x+3|=\left\{\begin{array}{l}-3x-1，x＜-3\\-x+5，-3≤x＜1\\ 3x+1，x≥1\end{array}\right.$，利用单调性求的h（x）的最小值，可得a的范围．

解答 解：（1）当a=6时，不等式f（x）＞g（x）即为|x-1|+|x+3|＜6；
①当x＜-3时，不等式即为-（x-1）-（x+3）＜6，解得x＞-4，此时-4＜x＜-3；
②当-3≤x＜1时，不等式即为-（x-1）+（x+3）＜6，即4＜6成立，此时-3≤x＜1；
③当x≥1时，不等式即为（x-1）+（x+3）＜6，解得x＜2，此时1≤x＜1；
因此，综上可知所求不等式的解集为（-4，2）；　…5分
（2）函数y=2f（x）的图象恒在函数y=g（x）的图象的上方，
故2f（x）-g（x）＞0恒成立，即a＜2|x-1|+|x+3|，
令$h（x）=2|x-1|+|x+3|=\left\{\begin{array}{l}-3x-1，x＜-3\\-x+5，-3≤x＜1\\ 3x+1，x≥1\end{array}\right.$，则h（x）在（-∞，1]上递减，在[1，+∞）上递增，
故当x=1时，h（x）取得最小值h（1）=4，故a＜4，
即当a＜4时，函数y=2f（x）的图象恒在函数y=g（x）的图象的上方．…10分．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，利用单调性求函数的最值，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．