Question

3．已知定义域为R的奇函数f（x）=x|x+m|．
（1）求出m的值，并解不等式f（x）≥x；
（2）对任意x₁，x₂∈[1，1+a]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由题意先求出m，代入求函数解析式；
（1）由x|x|≥x可得$\left\{\begin{array}{l}{x}^{\;}≥0\\{x}^{2}≥x\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x}^{\;}＜0\\-{x}^{2}≥x\end{array}\right.$，从而解不等式；
（2）由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}，x≥0\\-{x}^{2}，x＜0\end{array}\right.$，可知f（x）在R上单调递增，从而化对任意x₁，x₂∈[1，1+a]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤2为f（1+a）-f（1）≤2，从而解得．

解答 解：∵f（x）=x|x+m|是定义域为R的奇函数，
∴m=0，
∴f（x）=x|x|；
（1）由x|x|≥x得，
$\left\{\begin{array}{l}{x}^{\;}≥0\\{x}^{2}≥x\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x}^{\;}＜0\\-{x}^{2}≥x\end{array}\right.$；
解得，x≥1或-1≤x≤0，
故不等式的解集为{x|x≥1或-1≤x≤0}；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}，x≥0\\-{x}^{2}，x＜0\end{array}\right.$，
则f（x）在R上单调递增，
∴f（x）在[1，1+a]上单调递增，
∴f（1+a）-f（1）≤2，
即（1+a）|1+a|-1≤2，
又∵1+a＞1，
∴0＜a≤$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查了分段函数的应用，二次函数的性质，函数的奇偶性的应用，属于中档题．