Question

8．已知正项数列{a_n}中，S_n是其前n项的和，S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），求a₁，a₂，a₃的值，推测出{a_n}的通项公式，并证明．

Answer 1

分析 S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），可得a₁=$\frac{1}{2}（{a}_{1}+\frac{1}{{a}_{1}}）$，a₁＞0，解得a₁=1．同理可得：a₂=$\sqrt{2}$-1，a₃=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，猜想a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．利用数学归纳法给出证明即可．

解答 解：∵S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），
∴a₁=$\frac{1}{2}（{a}_{1}+\frac{1}{{a}_{1}}）$，a₁＞0，解得a₁=1．
同理可得：a₂=$\sqrt{2}$-1，
a₃=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，
∴猜想a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．
下面利用数学归纳法给出证明：
（1）当n=1时，a₁=$\sqrt{1}-\sqrt{1-1}$=1，成立．
（2）假设当n=k（k∈N^*）时，假设a_k=$\sqrt{k}-\sqrt{k-1}$．
则当n=k+1时，S_k+1=$\frac{1}{2}（{a}_{k+1}+\frac{1}{{a}_{k+1}}）$=S_k+a_k+1，
∴$\frac{1}{{a}_{k+1}}$=a_k+1+${a}_{k}+\frac{1}{{a}_{k}}$，
化为${a}_{k+1}^{2}$+$2\sqrt{k}{a}_{k+1}$-1=0，a_k+1＞0．
解得a_k+1=$\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$．
可知：当n=k+1时，假设成立．
综上可得：?n∈N^*，a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$成立．

点评 本题考查了递推关系的应用、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．