Question

20．函数f（x）是（0，+∞）上的单调增函数，当n∈N⁺时，f（n）∈N⁺，且f[f（n）]=3n，则f（1）的值为2．

Answer 1

分析 结合题设条件，利用列举法一一验证，能够求出f（1）的值．

解答 解：函数f（x）是（0，+∞）上的单调增函数，当n∈N⁺时，f（n）∈N⁺，且f[f（n）]=3n，
若f（1）=1，则f（f（1））=f（1）=1，与条件f（f（n））=3n矛盾，故不成立；
若f（1）=3，则f（f（1））=f（3）=3，进而f（f（3））=f（3）=9，与前式矛盾，故不成立；
若f（1）=n（n＞3），则f（f（1））=f（n）=3，与f（x）单调递增矛盾．
所以只剩f（1）=2．验证之：
f（f（1））=f（2）=3，
进而f（f（2））=f（3）=6，
进而f（f（3））=f（6）=9，满足条件，
故答案为：2．

点评 本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的合理运用，属于中档题．