Question

10．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n（n∈n^*），则$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n{a}_{n}}{{S}_{n}}$=2．

Answer 1

分析 由题意可知：n=1，a₁=S₁=1+1=2，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²+（n-1）=2n，则a_n=2n（n∈n^*），$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n{a}_{n}}{{S}_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2{n}^{2}}{n（n+1）}$=2$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{1+\frac{1}{n}}$=2．

解答 解：由S_n=n²+n（n∈n^*），
当n=1，a₁=S₁=1+1=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²+（n-1）=2n，
当n=1时，a₁=2×1=2，成立，
∵a_n=2n（n∈n^*），
∴$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n{a}_{n}}{{S}_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2{n}^{2}}{n（n+1）}$=2$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{1+\frac{1}{n}}$=2，
∴$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n{a}_{n}}{{S}_{n}}$=2，
故答案为：2．

点评 本题考查求数列通项公式的方法，考查数列与极限的综合应用，考查计算能力，属于中档题．