Question

已知f（x）=

x

4

+

a

x

-lnx-

3

2

，且曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=

1

2

x．
（1）求a的值和切线方程；
（2）求f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）由题意求导可得f′（x）=

1

4

-

a

x2

-

1

x

，代入x=1可得f′（1）=

1

4

-a-1=-2，从而求a，进而求切线方程；
（2）f（x）=

x

4

+

5

4x

-lnx-

3

2

的定义域为（0，+∞），f′（x）=

1

4

-

5

4x2

-

1

x

=

x2-5-4x

4x2

=

(x-5)(x+1)

4x2

，从而求单调性与极值．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

4

-

a

x2

-

1

x

，
∵曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=

1

2

x，
∴f′（1）=

1

4

-a-1=-2，
解得，a=

5

4

，
故f（x）=

x

4

+

5

4x

-lnx-

3

2

，
则f（1）=

1

4

+

5

4

-

3

2

=0，
故切线方程为：y-0=-2（x-1），
即2x+y-2=0；
（2）∵f（x）=

x

4

+

5

4x

-lnx-

3

2

的定义域为（0，+∞），
f′（x）=

1

4

-

5

4x2

-

1

x

=

x2-5-4x

4x2

=

(x-5)(x+1)

4x2

，
故当x∈（0，5）时，f′（x）＜0；
当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0；
故f（x）在（0，5）上单调递减，在（5，+∞）上单调递增；
则f（x）在x=5处有极小值f（5）=

5

4

+

1

4

-ln5-

3

2

=-ln5．

点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．