Question

已知数列{a_n}中满足a₁=15，a_n+1=a_n+2n，则

an

n

的最小值为（　　）

• A、9
• B、7
• C、

  27

  4

• D、2

  15

  -1

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：数列{a_n}中满足a₁=15，a_n+1=a_n+2n，利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=n²-n+15，可得

an

n

=

n2-n+15

n

=n+

15

n

-1，利用导数考察函数f（x）=x+

15

x

（x≥1）的单调性即可得出．

解答： 解：∵数列{a_n}中满足a₁=15，a_n+1=a_n+2n，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2（n-1）+2（n-2）+…+2+15
=

(n-1)(2+2n-2)

2

+15
=n²-n+15，
∴

an

n

=

n2-n+15

n

=n+

15

n

-1，
考察函数f（x）=x+

15

x

（x≥1）的单调性，f′(x)=1-

15

x2

，
由f′（x）＞0，解得x＞

15

，此时函数f（x）单调递增；由f′（x）＜0，解得1≤x＜

15

，此时函数f（x）单调递减．
∴当n=4时，

an

n

的最小值为

42-4+15

4

=

27

4

．
故选：C．

点评：本题考查了等差数列的前n项和公式、“累加求和”、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．