Question

在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，
并且取出不再放回，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数
（1）求ξ的分布列，期望值及方差；
（2）求η的分布列，期望值及方差．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列，期望值及方差．
（2）η的可能取值为1，2，3，且ξ+η=3，由此能求出η的分布列，期望值及方差．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）ξ的可能取值为0，1，2，…（1分）
P（ξ=0）=

C 0 2 A 3 10

A 3 12

=

6

11

，
P（ξ=1）=

( C 1 2 C 2 10 ) A 3 3

A 3 12

=

9

22

，
P（ξ=2）=

( C 2 2 C 1 10 ) A 3 3

A 3 12

=

1

22

，…（4分）
∴ξ的分布列为：…（6分）

ξ	0	1	2
P	6 11	9 22	1 22

∴ξ的数学期望为：Eξ=0×

6

11

+1×

9

22

+2×

1

22

=

1

2

．
方差为：Dξ=(0-

1

2

)2×

6

11

+(1-

1

2

)2×

9

22

+(2-

1

2

)2×

1

22

=

15

44

．…（8分）
（2）η的可能取值为1，2，3，且ξ+η=3，
∴P（η=1）=P（ξ=2）=

1

22

，
P（η=2）=P（ξ=1）=

9

22

，
P（η=3）=P（ξ=0）=

6

11

，…（10分）
∴η的分布列为：…（12分）

η	1	2	3
P	1 22	9 22	6 11

∴Eη=E（3-ξ）=3-Eξ=3-

1

2

=

5

2

，
Dη=（-1）²•Dξ=

15

44

．…（14分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．