Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，a₂=8，a₃=24，{a_n+1-2a_n}为等比数列．
（1）求证：{

an

2n

}是等差数列
（2）求

1

Sn

的取值范围．

Answer 1

考点：等比数列的性质,等差关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用a₁=2，a₂=8，a₃=24，{a_n+1-2a_n}为等比数列，可得a_n+1-2a_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，从而

an+1

2n+1

-

an

2n

=1，即可证明结论；
（2）由于数列的通项是一个等差数列与等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的和即可．

解答： （1）证明：∵{a_n+1-2a_n}为等比数列，a₁=2，a₂=8，a₃=24，
∴a₃-2a₂=2（a₂-2a₁），即{a_n+1-2a_n}为2，
∴a_n+1-2a_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=1，
∴{

an

2n

}是等差数列．

（2）解：由（1）知，

an

2n

=1+（n-1）=n
∴a_n=n•2ⁿ，
∴S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ
∴2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
两式相减得-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2-2n+1

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴

1

Sn

=

1

(n-1)•2n+1+2

∈（0，

1

2

]．

点评：求数列的前n项和一般先求出通项，根据通项的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组法．