题目内容

10．如图，已知四边形ABCD是圆内接四边形，且∠BCD=120°，AD=2，AB=BC=1．现有以下结论：
①B，D两点间的距离为$\sqrt{3}$；
②AD是该圆的一条直径；
③CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
④四边形ABCD的面积S=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
其中正确的个数为3．

分析 利用余弦定理，结合面积公式，分析四个命题，即可得出结论．

解答 解：①∵∠BCD=120°，∴∠A=60°，
∵AD=2，AB=1，∴BD=$\sqrt{4+1-2×2×1×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，①正确；
∴AB⊥BD，∴AD是该圆的一条直径，②正确；
③3=1+CD2-2CD•（-$\frac{1}{2}$），∴CD2+CD-2=0，∴CD=1，不正确；
④由③可得四边形是梯形，高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，四边形ABCD的面积S=$\frac{1+2}{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，正确．
故答案为：3

点评 本题考查圆内接四边形的性质，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

练习册系列答案
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17．如图所示，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，设M是上底面A1B1C1D1的中心．
（1）化简$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）；
（2）若$\overrightarrow{BM}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，求实数x，y，z的值．
1．在△ABC中，A点的坐标为（0，3），BC边的长为2，且BC在x轴上的区间[-3，3]上滑动．
（1）求△ABC的外心P的轨迹方程；
（2）设直线l：y=$\frac{1}{3}$x+b与P的轨迹交于E、F点，原点O到直线l的距离为d，求$\frac{|EF|}{d}$的最大值，并求此时b的值．
18．己知三棱锥P-ABC，PA⊥底面ABC，PA=AB=BC=2，直线PC与平面ABC所成的角为arctan$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求证：BC⊥平面PAB；
（2）设E为线段PC中点，求异面直线AE与BC所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（3）设M是三棱锥P-ABC内的动点（包括边界）．满足|AM|≤$\sqrt{2}$，求点M所形成的几何体的全面积．
5．若f（x）是R上的减函数，且f（x）的图象经过点A（0，4）和点B（3，-2），则当不等式|f（x+t）-1|＜3的解集为（-1，2）时，则t的值为1．
15．已知奇函数f（x）=$\frac{x+b}{{x}^{2}+a}$的定义域为R，f（1）=$\frac{1}{2}$．
（1）求实数a，b的值；
（2）证明函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数；
（3）f（x）在区间（-1，1）上，求不等式f（t）+f（t-1）＜0的解集．
2．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线为$y=\sqrt{3}x$，右焦点F（4，0），左右顶点分别为A1，A2，P为双曲线上一点（不同于A1，A2），直线A1P，A2P分别与直线x=1交于M，N两点；
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}$为定值，并求此定值．
19．偶函数y=f（x）满足下列条件①x≥0时，f（x）=x3；②对任意x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥8f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（　　）
A．（-∞，-$\frac{3}{4}$]B．[-$\frac{3}{4}，0$]C．[-2，$\frac{3}{4}$]D．[-$\frac{4}{3}，1$]
20．若偶函数y=f（x），x∈R，满足f（x+2）=-f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=3-x2，则方程f（x）=sin|x|在[-10，10]内的根的个数为（　　）
A．12B．10C．9D．8

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