Question

1．在△ABC中，A点的坐标为（0，3），BC边的长为2，且BC在x轴上的区间[-3，3]上滑动．
（1）求△ABC的外心P的轨迹方程；
（2）设直线l：y=$\frac{1}{3}$x+b与P的轨迹交于E、F点，原点O到直线l的距离为d，求$\frac{|EF|}{d}$的最大值，并求此时b的值．

Answer 1

分析 （1）三角形的外心为三边上高的交点，把B点的坐标设出来，把BC、AB的方程表示出来，然后消去参数即可；
（2）把直线方程与P的轨迹方程联立，根据弦长公式求出d，然后求解即可．

解答 解：（1）A（0，3），设B，C的坐标分别为B（t，0），C（t-2，0）（-1≤t≤3），
　　则线段BC的中垂线方程为x=t-1，①
　　AB中点（$\frac{t}{2}，\frac{3}{2}$），AB斜率为-$\frac{3}{t}$ （t≠0），
　　所以线段AB的中垂线方程为$y-\frac{3}{2}=\frac{t}{3}•（x-\frac{t}{2}）$②
　　由①②消去t得：x²=6y-8（-2≤x≤2且x≠-1）③
   当x=-1时，t=0时，三角形外心P为（-1，3/2），适合③；
　　所以P点的轨迹为x²=6y-8（-2≤x≤2）；
（2）将y=$\frac{1}{3}$x+b代入x²=6y-8得9y²+6（b-1）y+b²+8=0．
由y2=6y-8及-2≤x≤2，得$\frac{4}{3}$≤x≤2．
所以方程①在区间[$\frac{4}{3}$，2]有两个实根．
设f（x）=9y²+6（b-1）y+b2+8，则方程③在[$\frac{4}{3}$，2]上有两个不等实根的充要条件是
$\left\{\begin{array}{l}{△=[6（b-1）]^{2}-4×9（{b}^{2}+8）＞0\\;}\\{f（\frac{4}{3}）=9（\frac{4}{3}）^{2}+6（b-1）×\frac{4}{3}+{b}^{2}+8≥0\\;}\\{f（2）=9×{2}^{2}+6（b-1）×2+{b}^{2}+8≥0\\;}\\{\frac{4}{3}≤\frac{-6（b-1）}{2×9}≤2\\;}\end{array}\right.$
解之得：-4≤b≤-3，
∵|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{[\frac{2}{3}（b-1）^{2}-4×\frac{{b}^{2}+1}{9}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{-2b-7}$，
∴由弦长公式，得|EF|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}|{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{2}{3}\sqrt{10}\sqrt{-2b-7}$，
又原点到直线的距离为d=$\frac{|b|}{\sqrt{10}}$，
∴$\frac{|EF|}{d}=\frac{20}{3}\sqrt{\frac{-2b-7}{{b}^{2}}}$=$\frac{20}{3}\sqrt{-7（\frac{1}{b}+\frac{1}{7}）^{2}+\frac{1}{7}}$，
∵-4≤b≤-3，
∴$-\frac{1}{3}≤\frac{1}{b}≤-\frac{1}{4}$，
∴当$\frac{1}{b}=-\frac{1}{4}$，即b=-4时，$|\frac{EF}{d}{|}_{max}=\frac{5}{3}$．

点评 本题主要考查了直销方程的求解，直线与抛物线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，方程的实根分布问题的应用，点到直线的距离公式等知识的综合应用，试题具有一定的综合性