Question

15．已知奇函数f（x）=$\frac{x+b}{{x}^{2}+a}$的定义域为R，f（1）=$\frac{1}{2}$．
（1）求实数a，b的值；
（2）证明函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数；
（3）f（x）在区间（-1，1）上，求不等式f（t）+f（t-1）＜0的解集．

Answer 1

分析 （1））因为函数f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0，可得b的值，再利用f（1）=$\frac{1}{2}$，进而可求出a的值．
（2）由（1）可知：f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$．利用增函数的定义即可证明函数f（x）是增函数．
（3）根据函数奇偶性和单调性的定义将不等式进行转化进行求解即可．

解答 解：（1）∵奇函数f（x）=$\frac{x+b}{{x}^{2}+a}$的定义域为R，
∴f（0）=0，即f（0）=$\frac{b}{a}$=0，则b=0，
则f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+a}$，
∵f（1）=$\frac{1}{2}$．
∴f（1）=$\frac{1}{1+a}$=$\frac{1}{2}$．
则1+a=2，得a=1．
综上a=1，b=0．
（2）∵a=1，b=0，
∴f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$．
证明函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数；
设-1＜x₁＜x₂＜1，则x₂-x₁＞0，
于是△y=f（x₂）-f（x₁）=$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$-$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}^{2}+1}$=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（{x}_{2}^{2}+1）（{x}_{1}^{2}+1）}$．
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁x₂＜1，∴1-x₁x₂＞0．
又x₂-x₁＞0，${x}_{1}^{2}+1＞0$，${x}_{2}^{2}+1＞0$，
∴△y＞0，
∴函数f（x）在（-1，1）上为增函数．
（3）f（x）在区间（-1，1）上，
则不等式f（t）+f（t-1）＜0等价为f（t-1）＜-f（t）=f（-t），
∵f（x）在（-1，1）上为增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜t＜1}\\{-1＜t-1＜1}\\{t-1＜-t}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-1＜t＜1}\\{0＜t＜2}\\{t＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得0＜t＜$\frac{1}{2}$，
即不等式的解集为（0，$\frac{1}{2}$），

点评 本题综合考查了函数的奇偶性、单调性及不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的定义和性质是解决本题的关键．