题目内容

17.如图所示,在底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,设M是上底面A1B1C1D1的中心.
(1)化简$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$);
(2)若$\overrightarrow{BM}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$,求实数x,y,z的值.

分析 根据平行六面体中的相等向量或相反向量,利用向量的运算法则,进行化简即可.

解答 解:(1)在底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,M是上底面A1B1C1D1的中心;
∴$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$)=$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{{{A}_{1}B}_{1}}$+$\overrightarrow{{{A}_{1}D}_{1}}$)
=$\overrightarrow{{AA}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{{A}_{1}C}_{1}}$
=$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}M}$
=$\overrightarrow{AM}$;
(2)∵$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{{BB}_{1}}$+$\overrightarrow{{B}_{1}M}$
=$\overrightarrow{{AA}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{{B}_{1}D}_{1}}$
=$\overrightarrow{{AA}_{1}}$+$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{{{B}_{1}A}_{1}}$+$\overrightarrow{{{B}_{1}C}_{1}}$)
=$\overrightarrow{{AA}_{1}}$+$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$)
=$\overrightarrow{{AA}_{1}}$+$\frac{1}{2}$(-$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$)
=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{{AA}_{1}}$,
且$\overrightarrow{BM}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$,
∴x=-$\frac{1}{2}$,y=$\frac{1}{2}$,z=1.

点评 本题考查了相等向量与相反向量以及向量线性运算法则的应用问题,是基础题目.

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