Question

18．己知三棱锥P-ABC，PA⊥底面ABC，PA=AB=BC=2，直线PC与平面ABC所成的角为arctan$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求证：BC⊥平面PAB；
（2）设E为线段PC中点，求异面直线AE与BC所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（3）设M是三棱锥P-ABC内的动点（包括边界）．满足|AM|≤$\sqrt{2}$，求点M所形成的几何体的全面积．

Answer 1

分析 （1）由已知得PA⊥BC，PA⊥AC，从而得AC=2$\sqrt{2}$，进而AB⊥BC，由此能证明BC⊥平面PAB．
（2）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过B垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与BC所成的角的大小．
（3）点M所形成的几何体是球面的一部分，作出图形利用数形结合法能求出点M所形成的几何体的全面积．

解答 （1）证明：∵PA⊥底面ABC，PA=AB=BC=2，
直线PC与平面ABC所成的角为arctan$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴PA⊥BC，PA⊥AC，
∴tan∠PAC=$\frac{PA}{AC}$=$\frac{2}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得AC=2$\sqrt{2}$，
∴AC²=AB²+BC²，∴AB⊥BC，
∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．
（2）解：以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，
过B垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），C（0，2，0），
A（2，0，0），P（2，0，2），E（1，1，1），
$\overrightarrow{AE}$=（-1，1，1），$\overrightarrow{BC}$=（0，2，0），
设异面直线AE与BC所成的角为θ，
则cosθ=|$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{BC}|}$|=|$\frac{2}{2\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴异面直线AE与BC所成的角的大小为arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（3）解：点M所形成的几何体如右图，
其中∠NAG=∠MAG=$\frac{π}{2}$，$∠MAN=\frac{π}{4}$，
∴点M所形成的几何体的全面积：
S=$\frac{1}{4}×π×（\sqrt{2}）^{2}+\frac{1}{4}×π（\sqrt{2}）^{2}+\frac{1}{8}×π×（\sqrt{2}）^{2}$+4π×（$\sqrt{2}$）²×$\frac{\frac{π}{4}}{2π}×\frac{1}{2}$
=$\frac{π}{2}+\frac{π}{2}+\frac{π}{4}+\frac{1}{2}$
=$\frac{5π}{4}+\frac{1}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，考查几何体的全面积的求法，综合性强，难度大，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．