Question

19．在△ABC中，$B（{\sqrt{3}，0}）$、$C（{-\sqrt{3}，0}）$，动点A满足$|AC|+|AB|=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}|BC|$．
（1）求动点A的轨迹D的方程；
（2）若点$P（{\frac{1}{2}，\frac{1}{4}}）$，经过点P作一条直线l与轨迹D相交于点M，N，并且P为线段MN的中点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）确定动点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆（除去左右顶点），a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，即可求动点A的轨迹D的方程；
（2）利用点差法，求出直线的斜率，即可求直线l的方程．

解答 解：（1）$|AC|+|AB|=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}|BC|$=4＞2$\sqrt{3}$，
∴动点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆（除去左右顶点），a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，
∴动点A的轨迹D的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1（x≠±2）；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=1，y₁+y₂=$\frac{1}{2}$，
M，N代入椭圆方程，相减整理可得k_MN=-$\frac{1}{2}$，
∴直线l的方程为y=$-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查椭圆的定义，考查点差法的运用，属于中档题．