设定义在R上的函数f(x).f1(x)和f2=f1(x)+f2(x).且对任意实数x1.x2(x1≠x2).恒有|f1(x1)-f1(x2)|＞|f2(x1)-f2(x2)|成立．(1)试写出一组满足条件的具体的f1(x)和f2(x).使f1(x)为增函数.f2为增函数．(2)判断下列两个命题的真假.并说明理由．命题1):若f1为增函数,命题2):若f2为增函数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．设定义在R上的函数f（x）、f₁（x）和f₂（x），满足f（x）=f₁（x）+f₂（x），且对任意实数x₁、x₂（x₁≠x₂），恒有|f₁（x₁）-f₁（x₂）|＞|f₂（x₁）-f₂（x₂）|成立．
（1）试写出一组满足条件的具体的f₁（x）和f₂（x），使f₁（x）为增函数，f₂（x）为减函数，但f（x）为增函数．
（2）判断下列两个命题的真假，并说明理由．
命题1）：若f₁（x）为增函数，则f（x）为增函数；
命题2）：若f₂（x）为增函数，则f（x）为增函数．
（3）已知f（x）=x³+x²+x+1，写出一组满足条件的具体的f₁（x）和f₂（x），且f₂（x）为非常值函数，并说明理由．

分析（1）根据题意，找出满足条件的一组函数f₁（x）和f₂（x）即可；
（2）根据题意，得出命题1）是真命题，说明理由即可；
命题2）是假命题，举反例说明即可；
（3）根据题意，由f（x）=x³+x²+x+1写出一组满足条件的具体f₁（x）和f₂（x），简单说明理由即可．

解答解：（1）根据题意，设函数f₁（x）=3^x为（0，+∞）上的增函数，f₂（x）=-2^x为（0，+∞）减函数，
则f（x）=3^x-2^x是（0，+∞）上的单调增函数；
（2）命题1）：若f₁（x）为增函数，则f（x）为增函数，是真命题；
理由是：设x₁＜x₂由y=f₁（x）是区间D上的增函数可得f₁（x₁）＜f₁（x₂）
①若f₂（x）为单调递增或常函数，则y=F（x）是区间D上的增函数
②若函数f₂（x₁）＞f₂（x₂），则由|f₁（x₁）-f₁（x₂）|＞|f₂（x₁）-f₂（x₂）|可得，
-f₁（x₁）+f₁（x₂）＞f₂（x₁）-f₂（x₂）
∴f₁（x₁）+f₂（x₁）＜f₁（x₂）+f₂（x₂），
即f（x₁）＜f（x₂）；
综上，函数f（x）为单调递增函数；
命题2）：若f₂（x）为增函数，则f（x）为增函数，是假命题；
如函数f₁（x）=-3^x为减函数，f₂（x）=2^x为增函数，
但f（x）=2^x-3^x不是单调递增函数；
（3）由f（x）=x³+x²+x+1，
令f₁（x）=x³，为定义域R上的增函数，
f₂（x）=x²+x+1，且f₂（x）为非常值函数，
则f′（x）=3x²+2x+1=3${（x+\frac{1}{3}）}^{2}$+$\frac{2}{3}$＞0，
所以f（x）是定义域R上的增函数．