Question

2．已知集合A={x|x=m²-n²，m、n∈Z}
（1）判断8，9，10是否属于集合A；
（2）已知集合B={x|x=2k+1，k∈Z}，证明：“x∈A”的充分非必要条件是“x∈B”；
（3）写出所有满足集合A的偶数．

Answer 1

分析 （1）将x=8，9，10分别代入关系式x=m²-n²，若满足关系式，则属于A，若不满足关系式，则不属于A，即可得答案，
（2）根据已知中集合A的定义，根据集合元素与集合关系的判断，我们推证奇数x∈A可得答案．
（3）m2-n2=（m+n）（m-n）成立，当m，n同奇或同偶时，m-n，m+n均为偶数；当m，n一奇，一偶时，m-n，m+n均为奇数．由此能求出所有满足集合A的偶数．

解答 解：（1）∵8=3²-1，9=5²-4²，∴8∈A，9∈A，
假设10=m²-n²，m，n∈Z，则（|m|+|n|）（|m|-|n|）=10，且|m|+|n|＞|m|-|n|＞0，
∵10=1×10=2×5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{|m|+|n|=10}\\{|m|-|n|=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{|m|+|n|=5}\\{|m|-|n|=2}\end{array}\right.$，
显然均无整数解，
∴10∉M，
∴8∈A，9∈A，10∉A，
（2）∵集合B={x|x=2k+1，k∈Z}，则恒有2k+1=（k+1）²-k²，
∴2k+1∈A，
∴即一切奇数都属于A，
又∵8∈A，
∴x∈A”的充分非必要条件是“x∈B”，
（3）集合A={x|x=m²-n²，m、n∈Z}，
m2-n2=（m+n）（m-n）成立，①当m，n同奇或同偶时，m-n，m+n均为偶数，
（m-n）（m+n）为4的倍数，
②当m，n一奇，一偶时，m-n，m+n均为奇数，
∴（m-n）（m+n）为奇数，
综上所有满足集合A的偶数为4k，k∈Z．

点评 本小题主要考查元素与集合关系的判断、奇数等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．