Question

11．已知直线y=x+b与椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1相交于A，B两个不同的点．
（1）求实数b的取值范围；
（2）已知弦AB的中点P的横坐标是$-\frac{2}{3}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）将y=x+b 代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，消去y，整理得3x²+4bx+2b²-2=0，由△=16b²-12（2b²-2）=24-8b²＞0 即可
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（1）得x₁+x₂=-$\frac{4b}{3}$=-$\frac{2}{3}$×2，可得b．

解答 解：（1）将y=x+b 代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，消去y，整理得3x²+4bx+2b²-2=0
∵直线y=x+b与椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1相交于A，B两个不同的点
∴△=16b²-12（2b²-2）=24-8b²＞0，∴-$\sqrt{3}＜b＜\sqrt{3}$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由（1）得x₁+x₂=-$\frac{4b}{3}$=-$\frac{2}{3}$×2，得到b=1，满足-$\sqrt{3}＜b＜\sqrt{3}$．故b=1．

点评 本题主要考查了直线与椭圆的相交关系的应用，方程思想的应用是解答直线与曲线位置关系工具，属于基础题．