Question

6．在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别是边BC，DC上的点，且$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DF}=-\overrightarrow{CF}$，则$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$=（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． 1

Answer 1

分析 由题意可得 $\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=0，|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AD}$|=1，再根据 $\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$=（$\overrightarrow{AB}+\frac{\overrightarrow{AD}}{4}$）•（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{\overrightarrow{AB}}{2}$），计算求得结果．

解答 解：由题意可得 $\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=0，|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AD}$|=1，
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$=（$\overrightarrow{AB}+\frac{\overrightarrow{AD}}{4}$）•（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{\overrightarrow{AB}}{2}$）=$\frac{{\overrightarrow{AB}}^{2}}{2}$+$\frac{3}{2}$•$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+$\frac{{\overrightarrow{AD}}^{2}}{4}$=$\frac{1}{2}$+0+$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
故选：C．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于基础题．